Lois à densité

Caractéristiques d’une fonction de densité

f est une fonction de densité, si et seulement si :

• f est définie sur  ;
• f est positive ;
• .

Loi de probabilité d’une fonction de densité

X est la variable associée à une fonction de densité f lorsque , soit encore .
Conséquences : et .

Espérance

On étend la définition d’une variable discrète à une variable continue en remplaçant le symbole «  » par « ».
.

Variance

De même .
Exercice n°1

Loi uniforme sur

C’est la loi de probabilité dont la fonction de densité f est définie sur par , sur par et sur par .
Pour , la variable aléatoire X vérifie .
La fonction RANDOM de la calculatrice modélise la loi uniforme car elle fournit des valeurs équiprobables sur l’intervalle .

Espérance

.

Variance

 ;
 ;
.

Loi uniforme sur

C’est la loi de probabilité dont la fonction de densité f, définie sur par , sur par et sur par .
Pour , la variable aléatoire X vérifie .

Définition

Une fonction à densité f peut être associée à une loi exponentielle lorsqu’elle est définie sur par et sur par ().
La variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle vérifie .

Espérance

C’est la valeur de l’intégrale lorsque .
On sait dériver un produit de fonctions : , soit en intégrant ou .
C’est la formule de l’intégration par parties.
Dans le cas présent, on pose et .
D’où et .
On en déduit :  ;
 ;
 ;
.
Comme et alors .