Lois à densité



Les lois uniforme, exponentielle et normale en sont des exemples.
1. Qu’appelle-t-on loi à densité ?
Caractéristiques d’une fonction de densité
f est une fonction de densité, si et seulement si :
- f est définie sur
;
- f est positive ;
.
Loi de probabilité d’une fonction de densité
X est la variable associée à une fonction de densité f lorsque , soit encore
.
Conséquences : et
.
Espérance
On étend la définition d’une variable discrète à une variable continue en remplaçant le symbole « » par «
».
.
Variance
De même .
Exercice n°1
2. Qu’est-ce qu’une loi uniforme ?
Loi uniforme sur ![[0\,;\,1]](http://docs.reussite-bac.com/t/images/tsti2d_mat_03_m14.png)
C’est la loi de probabilité dont la fonction de densité f est définie sur par
, sur
par
et sur
par
.
Pour , la variable aléatoire X vérifie
.
La fonction RANDOM de la calculatrice modélise la loi uniforme car elle fournit des valeurs équiprobables sur l’intervalle .
|
Espérance
.
Variance
;
;
.
Loi uniforme sur ![[a\,;\,b]](http://docs.reussite-bac.com/t/images/tsti2d_mat_03_m28.png)
C’est la loi de probabilité dont la fonction de densité f, définie sur par
, sur
par
et sur
par
.
Pour , la variable aléatoire X vérifie
.
Exercice n°2Exercice n°3
3. Qu’est-ce qu’une loi exponentielle ?
Définition
Une fonction à densité f peut être associée à une loi exponentielle lorsqu’elle est définie sur par
et sur
par
(
).
La variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle vérifie .
Espérance
C’est la valeur de l’intégrale lorsque
.
On sait dériver un produit de fonctions : , soit en intégrant
ou
.
C’est la formule de l’intégration par parties.
Dans le cas présent, on pose et
.
D’où et
.
On en déduit : ;
;
;
.
Comme et
alors
.
À retenir
Loi uniforme sur [0 ; 1],
, sur [a ; b], 
![]() |
![P(a\leq{X}\leq{b})=\int_{a}^{b}1\mathrm{d}x=[x]_{a}^{b}=b-a](http://docs.reussite-bac.com/t/images/tsti2d_mat_03_m79.png)
Loi exponentielle
Une fonction à densité f peut être associée à une loi exponentielle lorsqu’elle est définie sur par
et sur
par
(
) ;
.