MathBox - Lois à densité

Lois à densité

La loi binomiale est une loi à variable aléatoire discrète dont les valeurs correspondent aux nombres possibles de réussites d’un événement. Lorsque la variable aléatoire est égale au temps d’attente à un guichet, à la durée de vie d’un matériel, toutes les valeurs réelles d’un intervalle $X\leq{a}$ , $a\leq{X}\leq{b}$ ou $X\geq{b}$ .

sont possibles. Il s’agit alors d’une loi continue, ou loi à densité. Les événements se présentent sous la forme

Les lois uniforme, exponentielle et normale en sont des exemples.

1. Qu’appelle-t-on loi à densité ?

Caractéristiques d’une fonction de densité

f est une fonction de densité, si et seulement si :

f est définie sur $\mathbb{R}$ ;
f est positive ;
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=1$ .

Loi de probabilité d’une fonction de densité

X est la variable associée à une fonction de densité f lorsque $P(X\leq{a})=\int_{-\infty}^{a}f(x)\mathrm{d}x$ , soit encore $P(a\leq{X}\leq{b})=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$ .
Conséquences : P(X=a)=0 et $P(X\leq{a})=P(X<a)$ .

Espérance

On étend la définition d’une variable discrète à une variable continue en remplaçant le symbole « $\Sigma$ » par « $\int$ ».
$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}{x}f(x)\mathrm{d}x$ .

Variance

De même $V(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}(E(X)-x)^2f(x)\mathrm{d}x$ .
Exercice n°1

2. Qu’est-ce qu’une loi uniforme ?

Loi uniforme sur $[0\,;\,1]$

C’est la loi de probabilité dont la fonction de densité f est définie sur $]-\infty\,;\,0[$ par f(x)=0 , sur $[0\,;\,1]$ par f(x)=1 et sur $]1\,;\,+\infty[$ par f(x)=0 .
Pour $[a\,;\,b]\subset[0\,;\,1]$ , la variable aléatoire X vérifie $P(a\leq{X}\leq{b})=\int_{a}^{b}1\mathrm{d}x=[x]_{a}^{b}=b-a$ .
La fonction RANDOM de la calculatrice modélise la loi uniforme car elle fournit des valeurs équiprobables sur l’intervalle $[0\,;\,1]$ .

Zoom

Espérance

$E(X)=\int_0^1{x}\times1\mathrm{d}x=[\frac{x^2}{2}]_0^1=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$ .

Variance

$V(X)=\int_0^1(\frac{1}{2}-x)^2\times1\mathrm{d}x=\int_0^1(\frac{1}{4}-x+x^2)\times1\mathrm{d}x$ ;
$V(X)=[\frac{1}{4}x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}]_0^1=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-0$ ;
$V(X)=\frac{3-6+4}{12}=\frac{1}{12}$ .

Loi uniforme sur $[a\,;\,b]$

C’est la loi de probabilité dont la fonction de densité f, définie sur $]-\infty\,;\,a[$ par f(x)=0 , sur $[a\,;\,b]$ par $f(x)=\frac{1}{b-a}$ et sur $]b\,;\,+\infty[$ par f(x)=0 .
Pour $[c\,;\,d]\subset[a\,;\,b]$ , la variable aléatoire X vérifie $P(c\leq{X}\leq{d})=\int_{c}^{d}\frac{1}{b-a}dx=[\frac{x}{b-a}]_{c}^{d}=\frac{d-c}{b-a}$ .

Exercice n°2Exercice n°3

3. Qu’est-ce qu’une loi exponentielle ?

Définition

Une fonction à densité f peut être associée à une loi exponentielle lorsqu’elle est définie sur $]-\infty\,;\,0[$ par f(x)=0 et sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda{x}}$ ( $\lambda>0$ ).
La variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle vérifie $P(a\leq{X}\leq{b})=\int_{a}^{b}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda{x}}\mathrm{d}x=[-\mathrm{e}^{-\lambda{x}}]_a^b=\mathrm{e}^{-\lambda{a}}-\mathrm{e}^{-\lambda{b}}$ .

Espérance

C’est la valeur de l’intégrale $E(X)=\int_0^x{t}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda{t}}\mathrm{d}t$ lorsque $x\rightarrow+\infty$ .
On sait dériver un produit de fonctions : (u.v)'=u'.v+v'.u , soit en intégrant $\int_0^x(u.v)'\mathrm{d}t=\int_0^x{u'.v}\mathrm{d}t+\int_0^x{u.v'}\mathrm{d}t$ ou $\int_0^x{u'.v}\mathrm{d}t=[u.v]_0^x-\int_0^x{u.v'}\mathrm{d}t$ .
C’est la formule de l’intégration par parties.
Dans le cas présent, on pose $u'(t)=\mathrm{e}^{-\lambda{t}}$ et $v(t)=\lambda{t}$ .
D’où $u(t)=\frac{e^{-\lambda{t}}}{-\lambda}$ et $v'(t)=\lambda$ .
On en déduit : $\int_0^x{t}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda{t}}\mathrm{d}t=[-t\mathrm{e}^{-\lambda{t}}]_0^x+\int_0^x\mathrm{e}^{-\lambda{t}}\mathrm{d}t$ ;
$\int_0^xt\lambda\mathrm{e}^{-\lambda{t}}\mathrm{d}t=[-x\mathrm{e}^{-\lambda{x}}]-[\frac{\mathrm{e}^{-\lambda{t}}}{\lambda}]_0^x$ ;
$\int_0^x{t}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda{t}}\mathrm{d}t=-x\mathrm{e}^{-\lambda{x}}-\frac{\mathrm{e}^{-\lambda{x}}}{\lambda}+\frac{1}{\lambda}$ ;
$\int_0^xt\lambda\mathrm{e}^{-\lambda{t}}\mathrm{d}t=-\mathrm{e}^{-\lambda{x}}(x+\frac{1}{\lambda})+\frac{1}{\lambda}$ .
Comme $\lim_{x\rightarrow+\infty}\mathrm{e}^{-\lambda{x}}=0$ et $\lim_{x\rightarrow+\infty}x\mathrm{e}^{-\lambda{x}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{\mathrm{e}^{\lambda{x}}}=0$ alors $E(X)=\lim_{x\rightarrow+\infty}-x\mathrm{e}^{-\lambda{x}}(x+\frac{1}{\lambda})+\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{\lambda}$ .